Matematyka

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych.

Matematyka w zadaniach dla studiów ekonomiczno-technicznych

Wykłady z matematyki

Celem cyklu wykładów (10 godzin wykładowych) wygłoszonych w 2002 r. dla słuchaczy Studium Doktoranckiego Politechniki Świętokrzyskiej było zwięzłe przedstawienie podstawowych metod matematycznych stosowanych w różnych działach mechaniki ośrodków ciągłych, w tym mechaniki odkształceń sprężystych, mechaniki cieczy, a także propagacji fal naprężenia. Te działy ogólnie pojętej mechaniki są zwykle wykładane i przedstawiane w podręcznikach niezależnie, bez wskazania, że wszystkie wywodzą się ze wspólnego źródła i że często posługują się takimi samymi metodami matematycznymi. Podstawowe różnice wynikają z faktu, że w każdym z nich inne są czynniki dominujące w badanych zjawiskach. Wpływ pozostałych czynników jest na tyle mały, że może być pominięty w rozważaniach. Na przykład w mechanice przepływów cieczy doskonałej zakłada się, że jest ona nieściśliwa, ale konieczne jest uwzględnienie członów konwekcyjnych w wyrażeniach na przyspieszenia cząstek w równaniach ruchu. W przeciwieństwie do tego przy analizie propagacji fal ciśnienia (fal akustycznych) w takiej cieczy jej ściśliwość jest głównym czynnikiem procesu propagacji fali, a jej pominięcie prowadziłoby do absurdalnych wniosków. W tym przypadku wpływ członów konwekcyjnych w wyrażeniach na przyspieszenia cząstek jest tak mały, że nie uwzględnia się ich w analizie.
Uwzględnienie tylko dominujących członów w podstawowych równaniach ruchu oraz wprowadzenie dodatkowych równań opisujących fizyczne cechy prowadzi w każdym przypadku do odmiennego układu równań, które rozwiązywane są odmiennymi metodami matematycznymi. Ale niekiedy te same metody matematyczne znajdują zastosowanie w różnych działach mechaniki ośrodków ciągłych. Na przykład metoda charakterystyk opisana w rozdziale 5 w zastosowaniu do quasi-statycznych zagadnień plastycznego płynięcia, może być z powodzeniem stosowana przy analizie propagacji fal naprężenia w ciałach sprężystych - pokazano to w rozdziale 6, a także przy analizie fal akustycznych - w cieczach.
Po wstępnym omówieniu podstawowych dla wszystkich zagadnień równań ruchu oraz zależności opisujących stan odkształcenia i głównych pojęć teorii pola wektorowego, kolejno omówiono ważniejsze metody matematyczne stosowane przy rozwiązywaniu konkretnych problemów o znaczeniu praktycznym. Wspomniano o metodzie funkcji naprężeń stosowanej w klasycznej teorii sprężystości z pokazaniem dlaczego nie znajduje ona zastosowania w mechanice odkształceń plastycznych. Więcej miejsca poświęcono metodzie charakterystyk, W teorii plastyczności identyfikowane są one jako linie poślizgu. Pokazano również zastosowania metody charakterystyk do analizy fal naprężeń w ośrodkach sprężystych i w cieczach, wskazując równocześnie, że taką analizę można także przeprowadzić metodą równania falowego.
W Dodatku podano podstawowe informacje o zapisie wskaźnikowym i o umowie sumacyjnej.