Algebra liniowa i geometria analityczna dla informatyków.

Część I. Podstawy algebry liniowej.

Spis treści
Przedmowa ... 5

1. Liczby zespolone ... 7
1.1. Wiadomości wstępne - liczby naturalne, całkowite, wymierne ... 7
1.2. Liczby rzeczywiste i działania wymierne ... 7
1.3. Liczby zespolone - podejście algebraiczne ... 10
1.4. Liczby zespolone - podejście geometryczne ... 14
1.5. Postać trygonometryczna liczby zespolonej ... 16
1.6. Potęgowanie i wzór de Moivre’a ... 19
1.7. Pierwiastkowanie w ciele liczb zespolonych ... 20
1.8. Wielomiany i ich pierwiastki ... 23
1.9. Wielomiany stopnia trzeciego i ich pierwiastki - wzory Cardano ... 28
1.10. Liczby zespolone a geometria płaszczyzny ... 30
1.11. Zadania ... 32

2. Układy równań liniowych - metoda eliminacji Gaussa ... 35
2.1. Początki, czyli czego nas uczy geometria ... 35
2.2. Układy równań liniowych - uwagi ogólne ... 37
2.3. Układy równoważne i operacje elementarne na układach ... 43
2.4. Metoda eliminacji Gaussa i twierdzenie Kroneckera-Capellego ... 46
2.5. Mechanizm rekurencji ... 51
2.6. Przykłady ... 56
2.7. Układy oznaczone i układy kwadratowe ... 58
2.8. Zadania ... 60

3. Macierze i ich algebra ... 62
3.1. Macierze - podstawowe fakty ... 62
3.2. Działania w zbiorze macierzy I. Operacje wektorowe ... 67
3.3. Algebra wektorów w przestrzeni kartezjańskiej ... 70
3.4. Działania w zbiorze macierzy II. Mnożenie macierzy ... 73
3.5. Macierze odwracalne ... 82
3.6. Operacje elementarne i mnożenie macierzy trójkątnych ... 87
3.7. Transpozycja, czyli zamiana wierszy na kolumny ... 92
3.8. Zadania ... 94

4. Przestrzenie liniowe - podstawowe własności ... 99
4.1. Przestrzenie liniowe macierzy ... 99
4.2. Ogólne pojęcie przestrzeni liniowej ... 102
4.3. Liniowe przestrzenie funkcyjne ... 104
4.4. Baza i wymiar przestrzeni liniowej ... 107
4.5. Konstrukcje baz i podprzestrzeni ... 111
4.6. Zastosowanie - twierdzenie o rzędzie macierzy ... 113
4.7. Baza przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego ... 115
4.8. Struktura zbioru rozwiązań układu równań liniowych ... 118
4.9. Perspektywa geometryczna - rozmaitości afiniczne ... 119
4.10. Zadania ... 120

5. Odwzorowania liniowe i ich macierze ... 126
5.1. Odwzorowania liniowe przestrzeni kartezjańskich ... 126
5.2. Algebra odwzorowań i algebra macierzy ... 138
5.3. Odwzorowania liniowe ogólnych przestrzeni liniowych ... 140
5.4. Odwzorowania liniowe w perspektywie teorii układów liniowych ... 146
5.5. Podstawowe twierdzenie algebry liniowej ... 152
5.6. Zadania ... 153

6. Wyznaczniki i ich zastosowania ... 156
6.1. Wyznaczniki niskich stopni ... 156
6.2. Wyznaczniki dowolnego stopnia: podstawowe własności ... 161
6.3. Zastosowania: odwracalność macierzy i wzory Cramera ... 171
6.4. Zadania ... 176

7. Iloczyn skalarny, czyli jak mierzyć długości i kąty ... 179
7.1. Długość wektora i kąt na płaszczyźnie ... 179
7.2. Iloczyn skalarny w przestrzeni kartezjańskiej Rn ... 181
7.3. Dopełnienia ortogonalne ... 184
7.4. Bazy ortonormalne ... 188
7.5. Konstrukcja Grama-Schmidta bazy ortonormalnej ... 191
7.6. Rzut ortogonalny i ogólne rozkłady ortogonalne ... 195
7.7. Metoda równań normalnych ... 197
7.8. Zadania ... 204

A. Pojęcia i notacja teorii mnogości ... 207
A.1. Zbiory i operacje nad nimi ... 207
A.2. Ogólnie o odwzorowaniach ... 211

Odpowiedzi do zadań ... 215
Literatura ... 236