Metody interpolacji i aproksymacji danych na przykładzie krzywych i powierzchni parametrycznych.

Metody interpolacji i aproksymacji danych na przykładzie krzywych i powierzchni parametrycznych.

Spis treści
WSTĘP ............................................................................................................... 9
1. KRZYWE PARAMETRYCZNE .............................................................. 11
1.1. Implementacja klasy krzywych ............................................................ 13
2. INTERPOLACJA WIELOMIANOWA .................................................. 17
2.1. Potęgowe funkcje bazowe .................................................................... 17
2.2. Wielomiany Lagrange’a jako funkcje bazowe ..................................... 18
3. INTERPOLACJA SINC ............................................................................ 21
4. TRANSFORMACJA FOURIERA ........................................................... 23
4.1. Szereg Fouriera ..................................................................................... 23
4.2. Zespolona transformacja Fouriera ........................................................ 24
4.3. DFT – Dyskretna transformacja Fouriera ............................................. 25
4.4. FFT – Podział w dziedzinie czasu ........................................................ 27
4.5. FFT – Podział w dziedzinie częstotliwości........................................... 29
4.6. Metoda Cooleya-Tukeya szybkiej transformaty Fouriera .................... 30
4.7. Transformacja świergotowa.................................................................. 32
4.8. Transformacja Hartleya ........................................................................ 34
4.9. Kosinusowa transformacja Fouriera ..................................................... 36
5. TRANSFORMACJA FALKOWA............................................................ 45
6. KRZYWE SKLEJANE BEZIERA ........................................................... 55
6.1. Algorytm de Casteljau .......................................................................... 55
6.2. Właściwości krzywych Beziera ............................................................ 57
6.3. Interpolacja kubiczna krzywymi Beziera ............................................. 57
7. APROKSYMACJA METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW 63
7.1. Ważona metoda najmniejszych kwadratów.......................................... 66
7.2. Ważona rekurencyjna metoda najmniejszych kwadratów .................... 67
8. KRZYWE B-SKLEJANE .......................................................................... 69
8.1. Algorytm de Boora ............................................................................... 76
9. POWIERZCHNIE PARAMETRYCZNE................................................ 79
9.1. Interpolacja biliniowa ........................................................................... 79
9.2. Interpolacja bikubiczna......................................................................... 81
9.3. Aproksymacja za pomocą powierzchni B-sklejanych .......................... 83
10. FAKTORYZACJA QR ........................................................................... 87
10.1. Macierze ortogonalne ......................................................................... 87
10.2. Ortogonalizacja Grama-Schmidta ...................................................... 88
10.3. Faktoryzacja Grama-Schmidta z pivotingiem .................................... 90
10.4. Odbicia Householdera ........................................................................ 91
10.5. Faktoryzacja QR Householdera ......................................................... 92
10.6. Obroty Givensa-Jacobiego ................................................................. 93
10.7. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą QR ..................... 95
11. DIAGONALIZACJA MACIERZY ....................................................... 97
11.1. Iteracja potęg ...................................................................................... 98
11.2. Diagonalizacja macierzy symetrycznych ......................................... 101
11.3. Kombinacja liniowa projekcji .......................................................... 101
12. FAKTORYZACJA SVD ....................................................................... 103
12.1. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą SVD................. 104
12.2. Algorytm QR.................................................................................... 105
12.3. Bidiagonalizacja metodą Householdera ........................................... 106
12.4. Metoda Jacobiego ............................................................................ 107
13. METODA CZYNNIKÓW GŁÓWNYCH PCA.................................. 113
13.1. Transformacja PCA obrazów twarzy – eigenfaces .......................... 113
13.2. Metoda kernel PCA (kPCA) ............................................................ 116
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................... 121