Matematyka

W skrypcie przedstawiono podstawowy kurs akademicki analizy matematycznej, obejmujący rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej i wielu zmiennych rzeczywistych. Przeznaczony jest on dla studentów niematematycznych kierunków studiów (głównie technicznych i ekonomicznych).
Skrypt jest wynikiem wieloletnich doświadczeń autora. Podany jest w formie zwięzłej i możliwie przystępnej dla Czytelnika, z wieloma komentarzami oraz wyczuleniem na precyzję sformułowań i logiczne myślenie. Z uwagi na fakt, że skrypt spełnia rolę pomocniczą w dalszym kształceniu, pominięte zostały dowody niektórych twierdzeń, a nacisk położono na praktyczny aspekt opanowania i zrozumienia materiału. Służy temu między innymi odpowiedni dobór i duża liczba przykładów całkowicie rozwiązanych. Z myślą o słabiej przygotowanych studentach lub studiujących samodzielnie, został napisany rozdział wstępny, w którym zamieszczono powtórzenie i uzupełnienie wiadomości ze szkoły średniej, koniecznych do dalszego opanowania materiału.
Ze względu na dużą objętość, skrypt został podzielony na dwie części. Niniejsza część I obejmuje rachunek różniczkowy, a następna część II – rachunek całkowy i szeregi.

Medody ilosciowe-Klucz do efektywnej nauki i analizy danych.

Wydział: Matematyka Stosowana 

Podręcznik poświęcony jest najważniejszym dziełom algebry liniowej. Czytelnik znajdzie w nim tematy związane z algebrą zbiorów, rachunkiem macierzowym, teorią wyznaczników, układami równań liniowych oraz z podstawami trójwymiarowej geometrii analitycznej. Każdy rozdział składa się z niezbędnej teorii, zadań przykładowych oraz zadań do samodzielnego rozwiązania. Mają one różną skalę trudności. Na końcu podręcznika znajdują się rozwiązania większości zadań.

Uczenie maszynowe jest powszechnie stosowane w aplikacjach, jednak szczegóły związane z aspektami teoretycznymi bywają zaniedbywane. Często wynika to z braku swobody w posługiwaniu się matematyką. Tymczasem bez solidnych podstaw w tym zakresie nie można mówić o profesjonalnym podejściu do uczenia maszynowego.

Dzięki tej książce poznasz najważniejsze dziedziny matematyki algebrę liniową, rachunek różniczkowy i całkowy, a także teorię prawdopodobieństwa niezbędne do opanowania zaawansowanych koncepcji w uczeniu maszynowym. Poszczególne zagadnienia przedstawiono z wyjątkową przejrzystością i w uporządkowany sposób. W książce powiązano teorię z praktyką: koncepcje matematyczne zostały bezpośrednio zastosowane w przykładach z zakresu uczenia maszynowego, zaimplementowanych w Pythonie. Wiedza uzyskana w toku lektury będzie przydatna na przykład w trenowaniu modeli uczenia maszynowego metodą spadku gradientu czy w pracy z wektorami, macierzami i tablicami wielowymiarowymi.

W książce znajdziesz najważniejsze koncepcje i zasady z dziedziny:

• algebry liniowej, w tym macierze, wartości własne i rozkłady
• rachunku różniczkowego i całkowego, w tym różniczkowanie i całkowanie
• złożonych technik analizy wielu zmiennych
• teorii prawdopodobieństwa, w tym rozkłady, twierdzenie Bayesa i entropię

W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki!

Uczenie maszynowe jest powszechnie stosowane w aplikacjach, jednak szczegóły związane z aspektami teoretycznymi bywają zaniedbywane. Często wynika to z braku swobody w posługiwaniu się matematyką. Tymczasem bez solidnych podstaw w tym zakresie nie można mówić o profesjonalnym podejściu do uczenia maszynowego.

Dzięki tej książce poznasz najważniejsze dziedziny matematyki algebrę liniową, rachunek różniczkowy i całkowy, a także teorię prawdopodobieństwa niezbędne do opanowania zaawansowanych koncepcji w uczeniu maszynowym. Poszczególne zagadnienia przedstawiono z wyjątkową przejrzystością i w uporządkowany sposób. W książce powiązano teorię z praktyką: koncepcje matematyczne zostały bezpośrednio zastosowane w przykładach z zakresu uczenia maszynowego, zaimplementowanych w Pythonie. Wiedza uzyskana w toku lektury będzie przydatna na przykład w trenowaniu modeli uczenia maszynowego metodą spadku gradientu czy w pracy z wektorami, macierzami i tablicami wielowymiarowymi.

W książce znajdziesz najważniejsze koncepcje i zasady z dziedziny:

• algebry liniowej, w tym macierze, wartości własne i rozkłady
• rachunku różniczkowego i całkowego, w tym różniczkowanie i całkowanie
• złożonych technik analizy wielu zmiennych
• teorii prawdopodobieństwa, w tym rozkłady, twierdzenie Bayesa i entropię

W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki!

Mathematica jest komercyjnym programem służącym do obliczeń symbolicznych i numerycznych. Od początku istnienia, tj. od roku 1988, w którym Stephen Wolfram go stworzył, stał się bardzo popularny i często stosowany w środowisku inżynierów i naukowców, chociażby ze względu na to, iż jest niebywale sprawny technicznie oraz – zważywszy na intuicyjny interfejs – łatwy w użyciu.

Seria: Nauki Podstawowe
Tytuł: Statystyka dla inżynierów. Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa
Autor: Darya Filatova, Charles El Nouty

Skrypt ten został napisany z myślą o ułatwieniu studentom Wydziału Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej nauki przedmiotu pod nazwą Algebra z geometrią. Jednakże ze względu na swoją zawartość może też być wykorzystywany przez studentów innych kierunków technicznych.
Skrypt powstał na podstawie wykładów i ćwiczeń prowadzonych od wielu lat na Wydziale Inżynierii Lądowej przez różne osoby – w tym autorki. Składa się on z dziesięciu rozdziałów, z których ostatni zawiera odpowiedzi do zadań, a wcześniejsze dotyczą kolejno: liczb zespolonych, wielomianów rzeczywistych i zespolonych, macierzy i wyznaczników, układów równań liniowych, przestrzeni liniowych, przekształceń liniowych, wartości i wektorów własnych macierzy, form kwadratowych i geometrii analitycznej w przestrzeni. Z wielomianami rzeczywistymi, układami dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi i geometrią analityczną na płaszczyźnie większość początkujących studentów zetknęła się już w szkole średniej, natomiast pozostały materiał skryptu jest dla nich zupełnie nowy.

Twoje dziecko wreszcie zrozumie matematykę!

Matematyka z natury rzeczy nie jest łatwa. Dla wielu to najtrudniejszy przedmiot w szkole. Sprawia problemy nie tylko uczniom, ale także tym, którzy jej uczą. Niełatwo przygotować lekcje tak, aby uczynić zrozumiałym to, co trudno zrozumieć. Autorka przekonała się o tym w czasie swojej pracy jako nauczycielka, a teraz swoimi pomysłami dzieli się z czytelnikami, proponując scenariusze lekcji w szkole podstawowej. Zgromadzony tu materiał nauczania jest zgodny z podstawą programową nauczania matematyki w szkole podstawowej.

CONTENTS

FOREWORD

CHAPTER 1. INTRODUCTION
1.1. Overview of differential equations
1.2. General definitions
1.3. Do it yourself tasks

Podręcznik prezentujący statystyczne metody wyznaczania modeli matematycznych z danych eksperymentalnych. Zawiera najnowsze podejście do analizy danych stymulowane rozwojem technik eksperymentalnych. Napisana jest językiem, który stanowi kompromis między wymogami ścisłości matematycznej a przystępnością dla możliwie szerokiego zakresu odbiorców. Liczne przykłady praktyczne ilustrują zastosowania omówionych metod.

Jest przeznaczona dla studentów, doktorantów i pracowników naukowych wydziałów matematyczno-przyrodniczych, politechnicznych i innych jednostek analizujących dane eksperymentalne.

Celem monografii jest przedstawienie nowego ujęcia zagadnień statyki konstrukcji inżynierskich opisywanych nieróżniczkowalnymi funkcjonałami energii. Przedmiotowa tematyka, nazwana w pracy „niegładką statyką analityczną”, znajduje się w obszarze badań wielu światowych ośrodków, przy czym w Polsce nie znalazła jeszcze wyrazu w postaci zwartej monografii. Rozpatrywane w pracy zagadnienia zawierają się w problematyce niegładkich układów mechanicznych, ukształtowanej m.in. pracami: Jeana, Moreau [48], [49] i Panagiotopoulosa [71]÷[73], Acary’ego i Brogliato [1], [2], [13], Glockera [27] i innych (np. [56]).
Opisy zagadnień, które są prezentowane w niniejszej monografii, znacznie odbiegają od sformułowań powszechnie stosowanych w podręcznikach akademickich, gdzie rozpatrywane są przede wszystkim układy charakteryzowane za pomocą różniczkowalnych (gładkich) funkcjonałów energii. Taki opis nie wystarcza często do odwzorowania istotnych cech modelowanych obiektów, szczególnie w odniesieniu do modeli maszyn, pojazdów i elementów konstrukcji budowlanych, w których znajdują się ograniczniki przemieszczeń i ograniczniki sił wymagające wprowadzenia opisu matematycznego z zakresu niegładkiej analizy wypukłej. Teza pracy jest związana z możliwością i adekwatnością wprowadzenia takiego opisu.

Głównym adresatem skryptu są studenci pierwszego semestru Politechniki
Łódzkiej, w szczególności studenci Wydziału Biotechnologii i Nauk o Żywności
i innych wydziałów chemicznych. Przedstawiony zakres materiału obejmuje pod-
stawowe działy analizy matematycznej takie, jak:
• podstawowe wiadomości o funkcjach elementarnych,
• ciągi liczbowe,
• szeregi liczbowe i potęgowe,
• rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej (gra-
nica i ciągłość funkcji, ekstrema lokalne, asymptoty krzywej, wklęsłość i wy-
pukłość krzywej, badanie przebiegu zmienności funkcji),
• rachunek całkowy funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej (całka
nieoznaczona, oznaczona, niewłaściwa),
• liczby zespolone,
• macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.
Umieszczone w skrypcie zadania i pytania egzaminacyjne obejmują podstawo-
we działy matematyki najczęściej wykładane na kursie matematyki na wyższych
uczelniach technicznych, stąd skrypt może być przydatny dla znacznie szerszej gru-
py studentów.
Niniejsze opracowanie podzielone jest na trzy części: pierwsza obejmuje zestawy
zadań na kolokwia ze Wstępu do analizy matematycznej i jest uzupełnieniem treści
programowych zawartych we ”Wstępie do analizy matematycznej i wybranych za-
gadnień z fizyki” (Wydawnictwo PŁ, redakcja Andrzej Just, 2007), dwie pozostałe
zawierają zestawy zadań na kolokwia i zestawy pytań egzaminacyjnych.
Skrypt ten pozwala studentom zapoznać się z wieloma rodzajami zadań na
kolokwia o zróżnicowanym stopniu trudności oraz przykładami testów egzamina-
cyjnych. Jest to dobry materiał do indywidualnej pracy. Jednocześnie zamieszczone
rozwiązania całych zestawów zadań z kolokwiów i pytań egzaminacyjnych powin-
ny ułatwić Czytelnikowi samodzielne rozwiązywanie zadań i przygotowanie się do
egzaminu.
Chcielibyśmy serdecznie podziękować doc. Andrzejowi Justowi za cenne uwagi
dotyczące redakcji skryptu, dr Krystynie Dobrowolskiej za wieloletnią współpracę
oraz dr inż. Ewie Marciniak i dr inż. Henrykowi Dębińskiemu za inspirację.
Małgorzata Terepe

Książka jest kontynuacją skryptu ”Analiza matematyczna i algebra. Kolokwia i egzaminy. Część 1”. Podzielona jest na dwie części: pierwsza obejmuje zestawy zadań na kolokwia, druga przedstawia zestawy pytań egzaminacyjnych. Umieszczone w skrypcie zadania i pytania egzaminacyjne obejmują działy matematyki najczęściej wykładane na zajęciach matematyki podczas pierwszego roku nauki na wyższych uczelniach technicznych.

3
3
W każdej nauce jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki
Immanuel Kant
Przedmowa
Matematyka prowadzi równolegle dwa różne żywoty.
Z jednej strony jest żywą nauką, ciągle się rozwija, powstają nowe teorie, potrafimy
udowadniać twierdzenia używając narzędzi z zaskakująco różnych dziedzin matematyki.
Rocznie powstaje około 50000 prac matematycznych. Dumni autorzy cieszą się z indeksu
cytowań , co oznacza, że ich praca jest pożyteczna, być może posłuży komuś innemu do
napisania nowego, odkrywczego artykułu.
Tego rodzaju matematykę uprawiają naukowcy w zaciszu swoich gabinetów, pilnie
strzegąc wyników swoich prac dopóki nie ukażą się one drukiem. Uważani za nieszkodliwych
dziwaków, są bardzo cenieni za niskie koszty swojej pracy – jak ironicznie się uważa,
matematyk to urządzenie zamieniające kawę, pączki, ołówek i papier w twierdzenia.
Z drugiej strony matematyka, z którą spotykamy się w szkole i na studiach.
Matematyka jakiej doświadczają ludzie nie związani z nią zawodowo objawia się jako
przedmiot nauki szkolnej, który towarzyszy uczniom od szkoły podstawowej, aż po studia
wyższe. Jest ona uważana powszechnie za trudną, niepotrzebną, nie mającą nic wspólnego z
rzeczywistością i przede wszystkim martwą naukę. W zasadzie powiadamy, że znajomość
elementarnej arytmetyki, podstaw geometrii wystarcza aby prowadzić swe życie nie cierpiąc z
powodu braku innych umiejętności matematycznych.
Nie wstydzimy się przyznać do braku wiedzy, kompetencji związanych z matematyką.
Twierdzimy stanowczo, że doskonale radzimy sobie bez niej, a formułki i twierdzenia, które
poznaliśmy miały tylko wartość jako ćwiczenie uczenia się tekstu na pamięć.
Zresztą zapamiętany wiersz może się jeszcze gdzieś przydać, a wyrecytowanym z pamięci
twierdzeniem Talesa nikomu nie zaimponujemy.
Trudno polemizować z takim powszechnym przekonaniem o skostnieniu, braku
odniesienia do rzeczywistości i nieprzydatności matematyki.