Twoje dziecko wreszcie zrozumie matematykę!

Matematyka z natury rzeczy nie jest łatwa. Dla wielu to najtrudniejszy przedmiot w szkole. Sprawia problemy nie tylko uczniom, ale także tym, którzy jej uczą. Niełatwo przygotować lekcje tak, aby uczynić zrozumiałym to, co trudno zrozumieć. Autorka przekonała się o tym w czasie swojej pracy jako nauczycielka, a teraz swoimi pomysłami dzieli się z czytelnikami, proponując scenariusze lekcji w szkole podstawowej. Zgromadzony tu materiał nauczania jest zgodny z podstawą programową nauczania matematyki w szkole podstawowej.

CONTENTS

FOREWORD

CHAPTER 1. INTRODUCTION
1.1. Overview of differential equations
1.2. General definitions
1.3. Do it yourself tasks

Podręcznik prezentujący statystyczne metody wyznaczania modeli matematycznych z danych eksperymentalnych. Zawiera najnowsze podejście do analizy danych stymulowane rozwojem technik eksperymentalnych. Napisana jest językiem, który stanowi kompromis między wymogami ścisłości matematycznej a przystępnością dla możliwie szerokiego zakresu odbiorców. Liczne przykłady praktyczne ilustrują zastosowania omówionych metod.

Jest przeznaczona dla studentów, doktorantów i pracowników naukowych wydziałów matematyczno-przyrodniczych, politechnicznych i innych jednostek analizujących dane eksperymentalne.

Celem monografii jest przedstawienie nowego ujęcia zagadnień statyki konstrukcji inżynierskich opisywanych nieróżniczkowalnymi funkcjonałami energii. Przedmiotowa tematyka, nazwana w pracy „niegładką statyką analityczną”, znajduje się w obszarze badań wielu światowych ośrodków, przy czym w Polsce nie znalazła jeszcze wyrazu w postaci zwartej monografii. Rozpatrywane w pracy zagadnienia zawierają się w problematyce niegładkich układów mechanicznych, ukształtowanej m.in. pracami: Jeana, Moreau [48], [49] i Panagiotopoulosa [71]÷[73], Acary’ego i Brogliato [1], [2], [13], Glockera [27] i innych (np. [56]).
Opisy zagadnień, które są prezentowane w niniejszej monografii, znacznie odbiegają od sformułowań powszechnie stosowanych w podręcznikach akademickich, gdzie rozpatrywane są przede wszystkim układy charakteryzowane za pomocą różniczkowalnych (gładkich) funkcjonałów energii. Taki opis nie wystarcza często do odwzorowania istotnych cech modelowanych obiektów, szczególnie w odniesieniu do modeli maszyn, pojazdów i elementów konstrukcji budowlanych, w których znajdują się ograniczniki przemieszczeń i ograniczniki sił wymagające wprowadzenia opisu matematycznego z zakresu niegładkiej analizy wypukłej. Teza pracy jest związana z możliwością i adekwatnością wprowadzenia takiego opisu.

Książka jest kontynuacją skryptu ”Analiza matematyczna i algebra. Kolokwia i egzaminy. Część 1”. Podzielona jest na dwie części: pierwsza obejmuje zestawy zadań na kolokwia, druga przedstawia zestawy pytań egzaminacyjnych. Umieszczone w skrypcie zadania i pytania egzaminacyjne obejmują działy matematyki najczęściej wykładane na zajęciach matematyki podczas pierwszego roku nauki na wyższych uczelniach technicznych.

Głównym adresatem skryptu są studenci pierwszego semestru Politechniki
Łódzkiej, w szczególności studenci Wydziału Biotechnologii i Nauk o Żywności
i innych wydziałów chemicznych. Przedstawiony zakres materiału obejmuje pod-
stawowe działy analizy matematycznej takie, jak:
• podstawowe wiadomości o funkcjach elementarnych,
• ciągi liczbowe,
• szeregi liczbowe i potęgowe,
• rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej (gra-
nica i ciągłość funkcji, ekstrema lokalne, asymptoty krzywej, wklęsłość i wy-
pukłość krzywej, badanie przebiegu zmienności funkcji),
• rachunek całkowy funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej (całka
nieoznaczona, oznaczona, niewłaściwa),
• liczby zespolone,
• macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.
Umieszczone w skrypcie zadania i pytania egzaminacyjne obejmują podstawo-
we działy matematyki najczęściej wykładane na kursie matematyki na wyższych
uczelniach technicznych, stąd skrypt może być przydatny dla znacznie szerszej gru-
py studentów.
Niniejsze opracowanie podzielone jest na trzy części: pierwsza obejmuje zestawy
zadań na kolokwia ze Wstępu do analizy matematycznej i jest uzupełnieniem treści
programowych zawartych we ”Wstępie do analizy matematycznej i wybranych za-
gadnień z fizyki” (Wydawnictwo PŁ, redakcja Andrzej Just, 2007), dwie pozostałe
zawierają zestawy zadań na kolokwia i zestawy pytań egzaminacyjnych.
Skrypt ten pozwala studentom zapoznać się z wieloma rodzajami zadań na
kolokwia o zróżnicowanym stopniu trudności oraz przykładami testów egzamina-
cyjnych. Jest to dobry materiał do indywidualnej pracy. Jednocześnie zamieszczone
rozwiązania całych zestawów zadań z kolokwiów i pytań egzaminacyjnych powin-
ny ułatwić Czytelnikowi samodzielne rozwiązywanie zadań i przygotowanie się do
egzaminu.
Chcielibyśmy serdecznie podziękować doc. Andrzejowi Justowi za cenne uwagi
dotyczące redakcji skryptu, dr Krystynie Dobrowolskiej za wieloletnią współpracę
oraz dr inż. Ewie Marciniak i dr inż. Henrykowi Dębińskiemu za inspirację.
Małgorzata Terepe

Nieznośna lekkość bytu Milana Kundery to wspaniała książka o miłości,
duszy i lękach życia. Kundera uważa, że sensem istnienia jest pełne namiętności
korzystanie z szans na chwile szczęścia i radości. Matematyka jako sztuka życia
może być źródłem szczęścia i chwil pełnych radości.
Człowiek przeżywa wszystko po raz pierwszy i bez przygotowania. To tak
jakby aktor grał przedstawienie bez żadnej próby.
Biorąc udział w spektaklu „Matematyka”, spektaklu, który pisze życie
możemy być jego biernymi obserwatorami, statystami, ale również sami
możemy tworzyć nowe wątki, bawiąc się powoływać nowych bohaterów i prze-
żywać ich losy.
Ta niezwykła lekkość Matematyki użyta do opisywania i interpretowania
naszej codzienności jest szanowana przez matematyków i pogardzana lub
niedoceniana przez ludzi niezwiązanych z Królową Nauk.
Matematyka w swej istocie daje się poznać, smakować. Nie jest kapryśna,
zazdrosna, zawsze łaskawa i stwarzająca nowe możliwości poznania. Obcowanie
z matematyką możemy przeżywać wielokrotnie. Możemy się przygotować
na spotkanie z matematyką. Matematyka wreszcie pozwala nam zrozumieć nasze
niepowtarzalne jedyne życie.
W książce, którą Czytelniku trzymasz w ręku przedstawiłem kilka
przykładów, jak Matematyka może pomóc w sytuacjach życia codziennego,
zrozumieniu sztuki, czy podczas przyjemności związanych z podjęciem prawi-
dłowych decyzji dotyczących zmagań duszy i ciała.
Zakładam, że Czytelnik posiada elementarną wiedzę z podstaw Matematyki
na poziomie rozszerzonym liceum ogólnokształcącego.
Kolejne rozdziały są próbą pokazania i przekonania Czytelnika, że
Matematyka jest kluczem do zrozumienia reguł rządzących nawet najprostszymi
zdarzeniami. Opisałem działanie Matematyki w wielu zagadnieniach tran-
sportowych, sytuacjach społecznych – jak wieczory spędzone wspólnie
z przyjaciółmi w kawiarniach czy pubach. Pomogę w podejmowaniu trudnych
decyzji, opisując, jak zachować się w krytycznych sytuacjach np. pojedynki
honorowe, jak zawierać ubezpieczenia i jakie mamy szanse na skuteczne
rzucenie palenia. Czy rzeczywiście niektóre osoby posiadają szczególny dar,
tzw.: postrzegania pozazmysłowego – to wyjaśnię w jednym z rozdziałów.
Opisałem, jak Matematyka wpływała na rozwój sztuki i jak Matematycy i ich
prace inspirowały artystów.
Na zakończenie pokazałem Matematykę w samej sobie – jak potrafi urzec
i zaskoczyć jednocześnie swą prostotą, konsekwencją i żelazną logiką.
W tekście często będzie pojawiać się postać pana Jana – mieszkającego
w tradycyjnym bloku w mieście średniej wielkości. Będzie on łącznikiem
pomiędzy kolejnymi rozdziałami, a jego przygody i rozterki będą służyły do
rozważań nad możliwościami wplecenia matematyki w zwykłe ludzkie losy.
Kolejne tytuły rozdziałów poprzedziłem cytatami popularnych polskich
piosenek, które kojarzą się z przedstawionymi zagadnieniam

3
3
W każdej nauce jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki
Immanuel Kant
Przedmowa
Matematyka prowadzi równolegle dwa różne żywoty.
Z jednej strony jest żywą nauką, ciągle się rozwija, powstają nowe teorie, potrafimy
udowadniać twierdzenia używając narzędzi z zaskakująco różnych dziedzin matematyki.
Rocznie powstaje około 50000 prac matematycznych. Dumni autorzy cieszą się z indeksu
cytowań , co oznacza, że ich praca jest pożyteczna, być może posłuży komuś innemu do
napisania nowego, odkrywczego artykułu.
Tego rodzaju matematykę uprawiają naukowcy w zaciszu swoich gabinetów, pilnie
strzegąc wyników swoich prac dopóki nie ukażą się one drukiem. Uważani za nieszkodliwych
dziwaków, są bardzo cenieni za niskie koszty swojej pracy – jak ironicznie się uważa,
matematyk to urządzenie zamieniające kawę, pączki, ołówek i papier w twierdzenia.
Z drugiej strony matematyka, z którą spotykamy się w szkole i na studiach.
Matematyka jakiej doświadczają ludzie nie związani z nią zawodowo objawia się jako
przedmiot nauki szkolnej, który towarzyszy uczniom od szkoły podstawowej, aż po studia
wyższe. Jest ona uważana powszechnie za trudną, niepotrzebną, nie mającą nic wspólnego z
rzeczywistością i przede wszystkim martwą naukę. W zasadzie powiadamy, że znajomość
elementarnej arytmetyki, podstaw geometrii wystarcza aby prowadzić swe życie nie cierpiąc z
powodu braku innych umiejętności matematycznych.
Nie wstydzimy się przyznać do braku wiedzy, kompetencji związanych z matematyką.
Twierdzimy stanowczo, że doskonale radzimy sobie bez niej, a formułki i twierdzenia, które
poznaliśmy miały tylko wartość jako ćwiczenie uczenia się tekstu na pamięć.
Zresztą zapamiętany wiersz może się jeszcze gdzieś przydać, a wyrecytowanym z pamięci
twierdzeniem Talesa nikomu nie zaimponujemy.
Trudno polemizować z takim powszechnym przekonaniem o skostnieniu, braku
odniesienia do rzeczywistości i nieprzydatności matematyki.

Dark side of the moon – najsłynniejsza płyta rockowa. Utwory grupy
Pink Floyd składające się w monumentalny, przenikający szczerością album
od 30 lat łączą pokolenia dzieci i rodziców, wspólnie słuchających muzyki.
Zainspirowany tekstami, ośmieliłem się strawestować tytuł płyty tak, by
zachęcić nie tylko fanów muzyki do spotkania z matematyką.
Matematyka i muzyka to moje dwie pasje. Wydaje się, że przenikają się
wzajemnie, są obecne w każdej, codziennej chwili życia. Wyznaczają rytm
i tempo naszych działań, sumują doświadczenia, analizują sukcesy, a czasami
mnożą porażki.
Książka, którą Czytelniku trzymasz w ręku, zawiera kilkanaście przykładów
obecności matematyki w naszym życiu codziennym. Każdy rozdział poprze-
dzony jest fragmentem utworów z Dark side of the moon, które szczególnie
pasują do poruszanych tematów. Serdecznie zapraszam do lektury, a na początek
proponuję kilka krótkich matematycznych wycieczek w krainę alfabetu,
liczb, historii i absurdu. Mam nadzieję, że opowiastki te zachęcą Cię do
łaskawszego spojrzenia na matematykę.

Elementy matematyki dyskretnej.

GEOMETRIA WYKREŚLNA I GRAFIKA INŻYNIERSKA

W monografii zaprezentowano homotopijną metodę analizy wraz z przykładami jej zastosowań. W rozdziale drugim przedstawiono opis metody oraz własności tzw. pochodnej homotopijnej. Rozdział trzeci przedstawia zastosowanie metody oraz rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. W kolejnych trzech rozdziałach opisano wykorzystanie metody do rozwiązywania równań całkowych oraz ich układów. W ostatnim rozdziale przedstawiono zastosowania homotopijnej metody analizy do rozwiązywania wybranych zagadnień technicznych.

Zarys geometrii wykreślnej. wydanie 6 zmienione 2025